私（井上）の作成した実用純正律キーボードの成立過程について解説します。

　キッカケはかつてこの実験室内にあった「おまけコラム」で解説していた、「純正律を実現するためには、 鍵盤は最低でもオクターブあたり53鍵（59鍵説あり）必要」という作曲家玉木宏樹氏のホームページにあった一文でした。
　ハーモニーディレクター　HD-81（YAMAHA）に収録されているように、 平均律の12音階各音に対して純正音階を貼り付ける方法ならば一応全調演奏可能ですが、

　11×12＝132

と、132の音が必要となります。 （HD-81に収録されているＦの音は意味がないので削除して考えます。）

　それではこの音数を減らすにはどうすればよいか。 五度関係で隣り合う調の基音関係を純正完全五度とすると共通音を増やす事ができるので、結果として全体の音数を減らす事が可能となります。
　Ｃ調の基音を基準（Ｃ＝1/1）として具体的に考察しましょう。Ｃ調の音階は以下のようになります。

Ｃ	Ｄ	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	／	Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ
1/1	16/15	9/8	6/5	5/4	4/3	／	3/2	8/5	5/3	9/5	15/8

Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ	Ｃ	／	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	Ｆ
3/2	8/5	27/16	9/5	15/8	2/1	／	9/4	12/5	5/2	27/10	45/16

Ｇ調	Ｃ	／	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	Ｆ	Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ
	1/1	／	9/8	6/5	5/4	27/20	45/32	3/2	8/5	27/16	9/5	15/8
Ｃ調	Ｃ	Ｄ	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	／	Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ
	1/1	16/15	9/8	6/5	5/4	4/3	／	3/2	8/5	5/3	9/5	15/8
Ｆ調	Ｃ	Ｄ	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	／
	1/1	16/15	10/9	6/5	5/4	4/3	64/45	3/2	8/5	5/3	16/9	／

　ところで、ここまでをHD-81に収録した所である事に気づきました。 純正律の鬼門であるの和音（レファラ）を処理するためには（Ｃ調のＤ音）を下げるか、 、（Ｃ調のＦ音、Ａ音）を上げる必要があるのですが、 このＤ音を下げた場合の和音はＦ調に（Ｆ調の）、 Ｆ音、Ａ音を上げた場合の和音はＧ調に（Ｇ調の）あるのです。
　また、ダブルドミナントの処理（調の）も、 Ｃ調のとＧ調のが共通である事から一つ上の調で可能になるのです。 この事は取りも直さず、調と調の調関係を表しています。 これによって転調処理も可能であると気づかされました。

　これらの事に気づいた時、純正律を実用化する可能性があると思い至ったのでした。
　上記を踏まえ、シャープ、フラット各７つずつ15調の調関係を以下に示します。

Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調
（3/2）7	（3/2）6	（3/2）5	（3/2）4	（3/2）3	（3/2）2	（3/2）1	１	（3/2）-1	（3/2）-2	（3/2）-3	（3/2）-4	（3/2）-5	（3/2）-6	（3/2）-7

Ｃ調の＝1/1として表記

　続いて平行調との音程関係を取り入れてみましょう。実用純正律の「平行調及びその同主短（長）調へ、もしくは同主短（長）調の平行調への転調」の項目で考察したように、主調−平行調の主音関係は以下の通り。

主調（長調）−平行調（短調）
主調の　１	平行調の　5/3
主調（短調）−平行調（長調）
主調の　１	平行調の　6/5（3/5）

Ａ調	（5/3）1
Ｃ調	１
Ｅ調	（5/3）-1

Ｃ調の＝1/1として表記

　この関係を前項に重ねてみましょう。尚、中央が基準調であり、上下の平行調は転調の結果登場する調です。
　これが実践編（演奏法）で示した練習用キーボードです。

Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調	Ａ調
（5/3）1（3/2）7	（5/3）1（3/2）6	（5/3）1（3/2）5	（5/3）1（3/2）4	（5/3）1（3/2）3	（5/3）1（3/2）2	（5/3）1（3/2）1	（5/3）1	（5/3）1（3/2）-1	（5/3）1（3/2）-2	（5/3）1（3/2）-3	（5/3）1（3/2）-4	（5/3）1（3/2）-5	（5/3）1（3/2）-6	（5/3）1（3/2）-7
Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調
（3/2）7	（3/2）6	（3/2）5	（3/2）4	（3/2）3	（3/2）2	（3/2）1	１	（3/2）-1	（3/2）-2	（3/2）-3	（3/2）-4	（3/2）-5	（3/2）-6	（3/2）-7
Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調
（5/3）-1（3/2）7	（5/3）-1（3/2）6	（5/3）-1（3/2）5	（5/3）-1（3/2）4	（5/3）-1（3/2）3	（5/3）-1（3/2）2	（5/3）-1（3/2）1	（5/3）-1	（5/3）-1（3/2）-1	（5/3）-1（3/2）-2	（5/3）-1（3/2）-3	（5/3）-1（3/2）-4	（5/3）-1（3/2）-5	（5/3）-1（3/2）-6	（5/3）-1（3/2）-7

Ｃ調の＝1/1として表記

　ここで、転調の可能性を考察してみましょう。
　「総合和声（音楽之友社）」によると、 主調から転調可能な内部調はその調と同主短調（長調）の音階構成音それぞれを主音とする調とその同主長短調という事になります（下図）。

主調をＣdur、molとした場合の内部調

　ところで、純正音階というのは分解すると純正完全五度を積み重ねた音の列を何パターンか組み合わせたものなのです。 つまり、に完全五度を重ねた音、 の短三度下であるに完全五度を重ねた音、 の短三度上であるに完全五度を重ねた音、 という三つの五度列によって構成されています。

の五度列
−五度−−五度−−五度−

の短三度下の五度列
低−五度−−五度−−五度−

の短三度上の五度列
−五度−−五度−−五度−

　さらに特殊転調法の解釈を踏まえて主調との主音の音程関係をまとめると以下のようになります。

主調と転調可能調の関係

		調
		(5/3)2(3/2)1
調	調	調	調	調低
(5/3)1(3/2)3	(5/3)1(3/2)2	(5/3)1(3/2)1	(5/3)1	(5/3)1(3/2)-1
	調	調	調	調	調低
	(3/2)2	(3/2)1	（基）	(3/2)-1	(3/2)-2
		調	調	調	調	調
		(5/3)-1(3/2)1	(5/3)-1	(5/3)-1(3/2)-1	(5/3)-1(3/2)-2	3/5(3/2)-3
				調
				(5/3)-2(3/2)-1

　これが、前項で示した具体的主調関係と一致する（増一度関係を除く）事に気づくでしょう。つまり、これによってほとんどの転調を網羅する事が可能となる訳です。

　前項までで一応転調演奏も可能になりました。しかし、これを見ているうちにやや不満を感じました。それは基準音から離れると実際に使用する調の基音とは音程のズレが生じてくる事です。HD-81には全体の音程を微妙に高低する機能もあるのでそれで調整する事も可能ではありますが、どうせならその辺りも調整できた方が練習で使用する場合に都合が良いのではないかとさらに一考を加えてみました。

　私が曲頭等の音取りをする場合、音叉（Ａ＝440Hz）から各調の基音を取って各パートの音程を取るのですが、そのやり方（松原千振氏に聞いた方法を独自解釈）で取った音程の理想値を考察して以下に構成してみました。
　その各調の基音の取り方は次のようなものです。

・その調（長短に関わらず）の音階上にＡ（異名同音は除く）がある場合はその音を基準に音階を決定して基音の音高を決める。

　Ｇ調の場合、にＡが来るので以下のようになる。

						／
Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ	Ｃ	／	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	Ｆ
8/9 16/9 (3/2)-2	128/145	（基） 1/1	16/15	10/9	32/27	／	4/3	64/45	40/27	8/5	5/3

						／
Ｃ	Ｄ	Ｄ	Ｅ	Ｅ	Ｆ	／	Ｇ	Ａ	Ａ	Ｂ	Ｈ
3/5 6/5 (5/3)-1	16/25	27/40	18/25	3/4	4/5	／	9/10	24/25	（基） 1/1	27/25	9/8

						／
Ｈ	Ｃ	Ｃ	Ｄ	Ｄ	Ｅ	／	Ｆ	Ｇ	Ｇ	Ａ	Ａ
5/9 10/9 5/3(3/2)-1	16/27	9/5	2/3	25/36	20/27	／	5/6	8/9	25/27	（基） 1/1	25/24

　Ｅ調調の場合はにＦが来るので以下のようになる。

						／
Ｅ	Ｆ	Ｆ	Ｇ	Ｇ	Ａ	／	Ｂ	Ｃ	Ｃ	Ｄ	Ｄ
32/45 64/45 (5/3)-1(3/2)-3	512/675	（基）×4/5	64/75	8/9	128/135	／	16/15	256/225	64/27	32/25	4/3

						／
Ａ	Ｂ	Ｂ	Ｃ	Ｃ	Ｄ	／	Ｅ	Ｆ	Ｆ	Ｇ	Ｇ
24/25 48/25 (3/5)-2(3/2)-1	128/125	27/25	144/125	6/5	32/25	／	36/25	192/125	（基）×8/5	216/125	9/5

・上２つに入らないＣ調はそれ以外の調の配置（４つ毎に下の段に降りる）と整合を取ってＧ調の完全五度下に配置する。

各音階の配置構成

基準音Ａに対する15の基準調

Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調
(5/3)1(3/2)1	(5/3)1	5/3(3/2)-1
Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調
(3/2)1	（基）	(3/2)-1	(3/2)-2
	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調
	(5/3)-1	(5/3)-1(3/2)-1	(5/3)-1(3/2)-2	(5/3)-1(3/2)-3
		Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調
		(3/5)-2(3/2)-1	(3/5)-2(3/2)-2	(3/5)-2(3/2)-3	(3/5)-2(3/2)-4

　この配置が前項の転調関係と一致する事はすぐに分かると思います。これらの基準調の周りに転調によって生じる調関係を追加するとより効率のよい純正律キーボードになる訳です。
　ところで、基準調の配置と主調−転調の関係はいずれも上の段（5/3上の五度列）に行く程、完全五度上の調性が増えるので、全体の構成は菱形状になります。しかし、これよりは一つずつずらして長方形になるようにした方が実際に使用する場合に便利になるのでそのようにしてみました。

				Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調
				(5/3)3(3/2)2	(5/3)3(3/2)1	(5/3)3
	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調
	(5/3)2(3/2)4	(5/3)2(3/2)3	(5/3)2(3/2)2	(5/3)2(3/2)1	(5/3)2	(5/3)2(3/2)-1	(5/3)2(3/2)-2
Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調
(5/3)1(3/2)4	(5/3)1(3/2)3	(5/3)1(3/2)2	(5/3)1(3/2)1	(5/3)1	(5/3)1(3/2)-1	(5/3)1(3/2)-2	(5/3)1(3/2)-3
Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調
(3/2)3	(3/2)2	(3/2)1	（基）	(3/2)-1	(3/2)-2	(3/2)-3	(3/2)-4
Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｂ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調
(5/3)-1(3/2)2	(5/3)-1(3/2)1	(5/3)-1	(5/3)-1(3/2)-1	(5/3)-1(3/2)-2	(5/3)-1(3/2)-3	(5/3)-1(3/2)-4	(5/3)-1(3/2)-5
Ｂ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調
(5/3)-2(3/2)1	(5/3)-2	(5/3)-2(3/2)-1	(5/3)-2(3/2)-2	(5/3)-2(3/2)-3	(5/3)-2(3/2)-4	(5/3)-2(3/2)-5	(5/3)-2(3/2)-6
Ｇ調	Ｃ調	Ｆ調	Ｈ調	Ｅ調	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調
(5/3)-3	(5/3)-3(3/2)-1	(5/3)-3(3/2)-2	(5/3)-3(3/2)-3	(5/3)-3(3/2)-4	(5/3)-3(3/2)-5	(5/3)-3(3/2)-6	(5/3)-3(3/2)-7
	Ａ調	Ｄ調	Ｇ調	Ｃ調
	(5/3)-4(3/2)-2	(5/3)-4(3/2)-3	(5/3)-4(3/2)-4	(5/3)-4(3/2)-5

　この構成変更によっていずれの調性でも実際の演奏時の音高で表現する事が可能になりました。また、転調先調性をいくつか統合できるようになったので、前項で必要だった調性数は87（増一度関係も含む）に対し、今回の構成によって54まで減らす事が出来ました。